個人市・県民税は、その年の1月1日現在居住していた市町村で課税されます。年の途中で死亡された人に対しても、前年中の所得に基づいてその年度の課税が決定されます。

したがって、お父様に対しても、令和4年1月1日現在久留米市に居住されていましたので、令和4年度の個人市・県民税までは課税され、納めていただくことになります。

なお、納付については、相続人の中から代表相続人を設定していただき、その人に納税通知書を送付し相続人すべての方に納付をお願いすることになります。